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(Chris-LiveLoveClick/shutterstock.com)

Il 20 marzo, il matematico statunitense-canadese Robert Langlands ha ricevuto il premio Abel, come riconoscimento alla carriera. La ricerca di Langlands ha dimostrato come concetti geometrici, algebrici e analitici siano uniti da un legame comune ai numeri primi.

 

(con otto passaggi si isolano fino  400 numeri)

Quando a maggio il re di Norvegia consegnerà il premio a Langlands, onorerà l’ultimo sforzo nell’arco di 2.300 anni per comprendere i numeri primi, probabilmente uno dei più antichi i dati stabiliti nella matematica.

 

 

((Uno stencil usato da Kulik per setacciare i multipli di 37. AO¨AW, Nachlass Kulik, Image courtesy of Denis Roegel)

Da matematico devoto al “Programma Langlands”, sono affascinato dalla storia dei numeri primi e da come i recenti progressi hanno decifrato i loro segreti. Come hanno fatto ad ammaliare i matematici per millenni?

 
Come scoprire i numeri primi
Per studiare i numeri primi, i matematici setacciano ripetutamente i numeri interi fino a che restano solo i primi. Nel 1800, questa scrematura ha prodotto tabelle di milioni di numeri primi e permette agli attuali computer di trovare miliardi di numeri primi in meno di un secondo. Ma fondamentalmente il setaccio è lo stesso di 2.000 anno fa.
“Un numero primo è quello che è misurato soltanto dall’unità”, scrisse Euclide nel 300 a.C. Significa che i numeri primi non possono essere divisi in numeri interi da nessun numero più piccolo a eccezione di 1. Convenzionalmente, per i matematici lo stesso 1 non è un numero primo.

(The Conversation, CC-BY-ND Fonte: Martin Weissman)

Euclide ha dimostrato l’infinità dei numeri primi – vanno avanti all’infinito – ma storicamente è stato Eratostene a dotarci del ‘setaccio‘, per elencarli velocemente.

 
Ecco l’idea del setaccio. Primo, escludete i multipli di 2, poi di 3, poi di 5, poi di 7 – i primi quattro numeri primi. Se lo fate con tutti i numeri da 1 a 100, resteranno solo i numeri primi.
Con otto passaggi di filtraggio, si possono isolare i numeri primi fino a 400. Con 168 passaggi, i numeri primi fino a 1 milione. È questa la forza del Crivello di Eratostene.
Tabelle su tabelle
Uno dei primi redattori di tabelle di numeri primi è stato John Pell, un matematico inglese che si è dedicato alla creazione di tali tabelle. Era determinato a risolvere gli antichi problemi matematici di Diofanto, ma era anche spinto da una ricerca di un’organizzazione delle verità matematiche. Grazie ai suoi sforzi, agli inizi del 1700 i numeri primi fino a 100.000 erano ampiamente diffusi. Entro il 1800, vari progetti indipendenti avevano realizzato tabelle di numeri primi fino a 1 milione.
Per automatizzare il noioso processo di scrematura, un matematico tedesco di nome Carl Friedrich Hindenburg ha impiegato dei cursori variabili per eliminare i multipli su una pagina intera in una volta. Un altro approccio a bassa tecnologia ma efficace usava gli stencil per rintracciare i multipli.
Entro la metà del 1800, il matematico Jacob Kulik si era imbarcato nel progetto ambizioso di scoprire tutti i numeri primi fino a 10 milioni.
Questi “big data” del 1800 avrebbero potuto servire solo come tabella di riferimento se Carl Friedrich Gauss non avesse deciso di analizzare i numeri primi in quanto tali. Armato di un elenco di numeri primi fino a 3 milioni, Gauss iniziò a contarli, una “chilìade” o gruppo di 1.000 unità, alla volta. Contò i numeri primi fino a 1.000, quindi quelli tra 1.000 e 2.000, quindi tra 2.000 e 3.000 e così via.
Gauss scoprì che, andando avanti con i calcoli, i numeri primi erano sempre meno frequenti in ragione di una legge di “logaritmo inverso”. La legge di Gauss non dimostra con precisione quanti numeri primi ci sono, ma ne dà una stima abbastanza buona. Ad esempio, la sua legge predice 72 numeri primi tra 1.000.000 e 1.001.000, mentre il calcolo corretto è di 75 numeri primi, circa il 4% per cento di errore.
Un secolo dopo i primi calcoli di Gauss, la sua legge è stata dimostrata con il “teorema dei numeri primi”. La percentuale di errore si avvicina allo zero per intervalli di numeri primi sempre più grandi. L’ipotesi di Riemann, la cui dimostrazione ha in palio un premio da un milione di dollari, descrive anche quanto sia in realtà accurata la stima di Gauss.
La teoria dei numeri primi e l’ipotesi di Riemann attirano l’attenzione e i soldi, ma entrambe discendono da meno eleganti analisi di dati precedenti.
Nuovi misteri sui numeri primi
(Frequenza delle coppie dell’ultima cifra, tra numeri primi successivi fino a 100 milioni. I colori corrispondenti corrispondono agli spazi vuoti corrispondenti. M.H. Weissman, CC BY)
Oggi, i nostri insiemi di dati derivano da programmi informatici piuttosto che da stencil tagliati a mano, ma i matematici continuano a osservare nuovi schemi all’interno dei numeri primi.
 
Tranne che per 2 e 5, tutti i numeri primi terminano con le cifre 1, 3, 7 o 9. Nel 1800, è stato dimostrato che queste ultime cifre hanno la stessa frequenza. In altre parole, se osservate i numeri primi fino a 1 milione, circa il 25 percento termina in 1, il 25 percento 3, il 25 percento in 7 e il 25 percento in 9.
Le ultime cifre dei numeri primi
The Conversation, CC-BY-ND Fonte: Martin Weissman
Qualche anno fa Lemke Oliver e Kannan Soundararajan, teorici dei numeri dell’università di Stanford, erano stati colti di sorpresa da stranezze nell’ultima cifra dei numeri primi. Un esperimento osservava l’ultima cifra di un numero primo, come anche l’ultima cifra del numero primo immediatamente successivo. Ad esempio, il numero primo successivo a 23 è 29: dove si osserva un 3 e quindi un 9 come ultime cifre. Tra le ultime cifre dei numeri primi si osservano 3 e quindi 9 più spesso di 3 e quindi 7?
I teorici dei numeri si aspettavano qualche variazione, ma ciò che scoprirono andava ben oltre le loro aspettative. I numeri primi sono separati da intervalli diversi; ad esempio, 23 è a sei numeri di distanza da 29. Ma i numeri primi che terminano in 3 e poi in 9 come 23 e 29 sono molto più comuni dei numeri primi che terminano in 7 e poi in 3, anche se entrambe le coppie hanno un intervallo di sei.
I matematici hanno scoperto rapidamente una spiegazione plausibile. Ma quando si tratta dello studio dei numeri primi seguenti, i matematici si limitano (essenzialmente) all’analisi dei dati e alla persuasione. Le prove – lo standard aureo dei matematici per spiegare la realtà dei fatti – sembrano essere a decenni di distanza.
*Professore associato di matematica, University of California, Santa Cruz
Questo articolo è tradotto da The Conversation. Per leggerlo in originale vai qui
FONTE:https://it.businessinsider.com/dopo-2-300-anni-i-numeri-primi-continuano-ad-affascinare-i-matematici/